1 Вступ. Використання методів дослідження операцій


Рівняння Ейлера і його застосування для рішення завдань оптимального керування



Скачати 195.77 Kb.
Сторінка2/4
Дата конвертації08.02.2021
Розмір195.77 Kb.
1   2   3   4
Рівняння Ейлера і його застосування для рішення завдань оптимального керування

Рівняння Ейлера доцільно застосовувати для рішення оптимальних завдань керування, де за фізичним змістом важко очікувати рішення у вигляді розривних функцій і де функціонал і рівняння зв'язку істотно нелінійні.



Рівняння Ейлера для знаходження функції х (t), що доставляє екстремум функціоналові має вигляд:



де
У більшості технічних додатків варіаційного обчислення функції, що доставляють екстремум функціоналові, підлеглі деяким додатковим умовам (рівнянням зв'язку).

Для завдань керування - це рівняння керованого об'єкта



Для рішення варіаційного завдання в цьому випадку використається метод невизначених множників Лагранжа, суть якого полягає в тому, що рівняння Ейлера складається для допоміжної функції

де λt(t) — множники Лагранжа, що підлягають визначенню.
Функція х (t) і множники λt(t) Лагранжа визначаються із системи (n + 1) рівнянь: рівняння Ейлера для функції F і рівнянь зв'язку (рівнянь об'єкта керування). У такий спосіб сформульоване завдання на умовний екстремум називають загальним завданням Лагранжа.

Якщо умови, яким підлеглі шукані функції, задані у вигляді певних інтегралів виду



де Qt — задані величини, то для рішення завдання також складається допоміжна функція

Тут λ невизначені множники Лагранжа, що не залежать від часу. Варіаційне завдання в цьому випадку називається ізопериметричним завданням. Для знаходження функції х(t) і множників λ використаються, як і в загальному завданні Лагранжа, рівняння Ейлера для функції F і п рівнянь зв'язку.

Для представлення рівняння Ейлера в канонічній формі використовується функція, введена У. Гамільтоном для опису рухів механічних систем, яка зветься Гамільтоніаном і має вид:





    1. . Динамічне програмування і його застосування для рішення завдань оптимального керування. Принцип оптимальності й рівняння оптимальності Беллмана.

У техніці існує великий клас об'єктів і процесів, керування якими здійснюється на основі обмеженого числа рішень, прийнятих послідовно в деякі фіксовані моменти часу.

Визначення закону керування для таких процесів пов'язане з рішенням так званої задачі багатокрокового вибору. Керування дискретними системами може бути прикладом таких багатокрокових процесів.

Кожний безперервний процес можна представити як багатокроковий, якщо розглядати його в дискретні моменти часу.

Підхід, що дозволяє знайти оптимальне рішення на основі багатокрокових процесів ухвалення рішення, одержав назву динамічного програмування.

В основі методу динамічного програмування лежить принцип оптимальності, сформульований Беллманом Р.



Оптимальна стратегія визначається лише станом системи в даний момент і не залежить від того, як система прийшла в дану точку (рис.3.1).



Рис. 1.1.

Під стратегією ми розуміємо правило прийняття рішень.

Принцип оптимальності може бути сформульований і по-іншому.

Якщо траєкторія системи оптимальна на відрізку часу , то кінцева

ділянка цієї траєкторії на відрізку у свою чергу є оптимальною траєкторією, де  довільний момент часу (рис.1.1).

Із принципу оптимальності можна одержати необхідні умови оптимальності для безперервних і дискретних систем.


Припустимо що об'єкт описується рівнянням

(1.1)

Визначити керування і траєкторію , що доставляють екстремум функціоналу



(1.2)

де фіксовано,

відкрита область.

Нехай відома оптимальна траєкторія , рис1.2. Розглянемо ділянку .

Відповідно до принципу оптимальності функціонал (1.2) досягає на ньому мінімум.

Введемо позначення



(1.2)



Рис. 1.2.

При певному керуванні мінімальне значення функціонала залежить тільки від і .

Функція називається функцією Беллмана.

Розглянемо дві близькі точки оптимальної траєкторії й .



Точка перебуває ближче до кінцевого стану. Тому, дотримуючись принципу оптимальності, ділянка траєкторії від до вже оптимальна.

(1.4)

Відповідно до теореми про середнє можна записати



(1.5)

У такий спосіб



(1.6)

Приймемо допущення, що функція має частинні похідні по всіх координатах і за часом .



Тоді, розклавши в ряд Тейлора, одержимо

(1.7)

Згідно (3.1), запишемо



Тоді (3.7) приймає наступний вид



(1.8)

Підставимо (3.8) в (3.6) і одержимо

(1.9)

Беручи до уваги, що і не залежать від , (3.9) можна перетворити до виду



(1.10)

У результаті одержуємо



(1.11)

Або у векторній формі



(1.12)

Це рівняння в частинних похідних, називається рівнянням Беллмана. Рівняння Беллмана  аналітичний вираз принципу оптимальності для безперервних процесів. Він обґрунтований лише за умови, що існують частинні похідні функції по всіх координатах і часу . Випадки, коли це допущення не виконується, зустрічаються досить часто. Наприклад, допущення не виконується для лінійних систем у точках, що належить лінії (поверхні) перемикання.

За допомогою рівняння (1.11) можуть бути отримані оптимальні керування й траєкторії. Однак процедура аналітичного рішення рівняння в частинних похідних, ускладненого умовою мінімуму, представляє більші труднощі.




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©res.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка