1 Вступ. Використання методів дослідження операцій
Рівняння Ейлера і його застосування для рішення завдань оптимального керування
Скачати 261.96 Kb.
|
| Рівняння Ейлера і його застосування для рішення завдань оптимального керування
Рівняння Ейлера доцільно застосовувати для рішення оптимальних завдань керування, де за фізичним змістом важко очікувати рішення у вигляді розривних функцій і де функціонал і рівняння зв'язку істотно нелінійні. Рівняння Ейлера для знаходження функції х (t), що доставляє екстремум функціоналові має вигляд: де У більшості технічних додатків варіаційного обчислення функції, що доставляють екстремум функціоналові, підлеглі деяким додатковим умовам (рівнянням зв'язку). Для завдань керування - це рівняння керованого об'єкта Для рішення варіаційного завдання в цьому випадку використається метод невизначених множників Лагранжа, суть якого полягає в тому, що рівняння Ейлера складається для допоміжної функції де λt(t) — множники Лагранжа, що підлягають визначенню. Функція х (t) і множники λt(t) Лагранжа визначаються із системи (n + 1) рівнянь: рівняння Ейлера для функції F і рівнянь зв'язку (рівнянь об'єкта керування). У такий спосіб сформульоване завдання на умовний екстремум називають загальним завданням Лагранжа. Якщо умови, яким підлеглі шукані функції, задані у вигляді певних інтегралів виду де Qt — задані величини, то для рішення завдання також складається допоміжна функція Тут λ невизначені множники Лагранжа, що не залежать від часу. Варіаційне завдання в цьому випадку називається ізопериметричним завданням. Для знаходження функції х(t) і множників λ використаються, як і в загальному завданні Лагранжа, рівняння Ейлера для функції F і п рівнянь зв'язку. Для представлення рівняння Ейлера в канонічній формі використовується функція, введена У. Гамільтоном для опису рухів механічних систем, яка зветься Гамільтоніаном і має вид: . Динамічне програмування і його застосування для рішення завдань оптимального керування. Принцип оптимальності й рівняння оптимальності Беллмана. У техніці існує великий клас об'єктів і процесів, керування якими здійснюється на основі обмеженого числа рішень, прийнятих послідовно в деякі фіксовані моменти часу. Визначення закону керування для таких процесів пов'язане з рішенням так званої задачі багатокрокового вибору. Керування дискретними системами може бути прикладом таких багатокрокових процесів. Кожний безперервний процес можна представити як багатокроковий, якщо розглядати його в дискретні моменти часу. Підхід, що дозволяє знайти оптимальне рішення на основі багатокрокових процесів ухвалення рішення, одержав назву динамічного програмування. В основі методу динамічного програмування лежить принцип оптимальності, сформульований Беллманом Р. Оптимальна стратегія визначається лише станом системи в даний момент і не залежить від того, як система прийшла в дану точку (рис.3.1). Рис. 1.1. Під стратегією ми розуміємо правило прийняття рішень. Принцип оптимальності може бути сформульований і по-іншому. Якщо траєкторія системи оптимальна на відрізку часу , то кінцева ділянка цієї траєкторії на відрізку у свою чергу є оптимальною траєкторією, де довільний момент часу (рис.1.1). Із принципу оптимальності можна одержати необхідні умови оптимальності для безперервних і дискретних систем. Припустимо що об'єкт описується рівнянням (1.1) Визначити керування і траєкторію , що доставляють екстремум функціоналу (1.2) де фіксовано, відкрита область. Нехай відома оптимальна траєкторія , рис1.2. Розглянемо ділянку . Відповідно до принципу оптимальності функціонал (1.2) досягає на ньому мінімум. Введемо позначення (1.2) Рис. 1.2. При певному керуванні мінімальне значення функціонала залежить тільки від і . Функція називається функцією Беллмана. Розглянемо дві близькі точки оптимальної траєкторії й . Точка перебуває ближче до кінцевого стану. Тому, дотримуючись принципу оптимальності, ділянка траєкторії від до вже оптимальна. (1.4) Відповідно до теореми про середнє можна записати (1.5) У такий спосіб (1.6) Приймемо допущення, що функція має частинні похідні по всіх координатах і за часом . Тоді, розклавши в ряд Тейлора, одержимо (1.7) Згідно (3.1), запишемо Тоді (3.7) приймає наступний вид (1.8) Підставимо (3.8) в (3.6) і одержимо (1.9) Беручи до уваги, що і не залежать від , (3.9) можна перетворити до виду (1.10) У результаті одержуємо (1.11) Або у векторній формі (1.12) Це рівняння в частинних похідних, називається рівнянням Беллмана. Рівняння Беллмана аналітичний вираз принципу оптимальності для безперервних процесів. Він обґрунтований лише за умови, що існують частинні похідні функції по всіх координатах і часу . Випадки, коли це допущення не виконується, зустрічаються досить часто. Наприклад, допущення не виконується для лінійних систем у точках, що належить лінії (поверхні) перемикання. За допомогою рівняння (1.11) можуть бути отримані оптимальні керування й траєкторії. Однак процедура аналітичного рішення рівняння в частинних похідних, ускладненого умовою мінімуму, представляє більші труднощі.
Поділіться з Вашими друзьями:
|